Люди дійсно готові продати все, якщо ціна їх влаштує.
© Чак Паланік
Воспомним
Чому у болгар кивок голови на знак згоди означає "ні", мотание" - так"?
Це одна з національних особливостей болгар. Існує думка, що дана невідповідність слів і жестів пішло ще з часів болгаро-турецьких конфліктів. Нібито турки, приставляючи до горла ніж, запитували, відрікається чи болгарин від віри православної. Як тут бути? Якщо помотаешь головою вліво-вправо в знак заперечення, то сам собі перережешь горло. А ось варто кивнути, нагнувши голову - залишишся живий.
Прага, Чехія
1970 Pontiac Firebird
Pontiac Firebird - автомобіль, що випускався концерном General Motors з 1967 по 2002 роки. Випуск моделі 1970 року і початку другого покоління був затриманий до 26 Лютого 1970 внаслідок інженерних проблем, і найчастіше вона називається як 1970 ½ модельний рік, на початку 1970 року в продажу були автомобілі з трохи зміненою зовнішністю. Firebird другого покоління відкинули в сторону «пляшковий» дизайн. Автомобіль став більш присадкуватий, верхній край заднього вітрового скла йшов майже врівень з дахом, нижній же край закінчувався майже врівень з кришкою багажника. Такий специфічний вид автомобіля закріпився за моделлю на довгі 11 років.
4 парадоксу теорії ймовірностей
«Існують три види брехні: брехня, нахабна брехня і статистика». Ця фраза, приписана Марком Твеном прем'єр-міністру Великобританії Бенджаміна Дізраелі, непогано відображає ставлення більшості до математичним закономірностям. Дійсно, теорія ймовірностей часом підкидає дивовижні факти, в які складно повірити з першого погляду - і які, тим не менш, підтверджені наукою. «Теорії і практики» згадали найбільш відомі парадокси.
1. Проблема Монті Холла
Саме цю задачу у фільмі «Двадцять одне» запропонував студентам хитрий професор MIT. Давши правильну відповідь, головний герой потрапляє в команду блискучих молодих математиків, що обіграють казино в Лас-Вегасі.
Класична формулювання звучить так: «Припустимо, певному гравцеві запропонували взяти участь у відомому американському телешоу let's Make a Deal, яке веде Монті Хол, і йому необхідно вибрати одну з трьох дверей. За двома дверима знаходяться кози, за однією - головний приз, автомобіль, провідний знає розташування призів. Після того, як гравець робить свій вибір, ведучий відкриває одну з решти дверей, за якою знаходиться коза, і пропонує гравцеві змінити своє рішення. Варто гравцеві погодитися або краще зберегти свій первісний вибір? »
Ось типовий хід міркувань: після того, як ведучий відкрив одну з дверей і показав козу, гравцеві залишається вибрати між двома дверима. Машина знаходиться за однією з них, отже, ймовірність її вгадати становить½. Так що немає різниці - змінювати свій вибір чи ні. І тим не менш, теорія ймовірностей свідчить, що можна збільшити свої шанси на виграш, змінивши рішення. Розберемося, чому це так.
Для цього повернемося на крок назад. В той момент, коли ми зробили свій початковий вибір, ми розділили двері на дві частини: обрана нами і дві інші. Очевидно, що ймовірність того, що автомобіль ховається за «нашою» дверима, становить ⅓ - відповідно, автомобіль знаходиться за однією з двох дверей з імовірністю⅔. Коли ведучий показує, що за однією з цих дверей - коза, виходить, що ці ⅔ шансу припадають на другу двері. А це зводить вибір гравця до двох дверей, за однією з яких (спочатку обраної) автомобіль знаходиться з вірогідністю⅓, а за інший - з імовірністю⅔. Вибір стає очевидним. Що, зрозуміло, не скасовує того факту, що з самого початку гравець міг вибрати двері з автомобілем.
2. Завдання трьох в'язнів
Парадокс трьох в'язнів схожий з проблемою Монті Холла, хоча дія розгортається у більш драматичних умовах. Троє ув'язнених (А, Б і В) засуджені до смертної кари і поміщені в одиночні камери. Губернатор випадковим чином вибирає одного з них і дає йому помилування. Наглядач знає, хто з трьох помилуваний, але йому велено тримати це в таємниці. В'язень A просить стражника сказати йому ім'я другого ув'язненого (крім нього самого), який точно буде страчений: «якщо Б помилуваний, скажи мені, що буде страчений В. Якщо помилуваний, скажи мені, що буде страчений Б. Якщо вони обидва будуть страчені, а помилуваний я, підкинь монету, і скажи будь-яке з цих двох імен». Наглядач каже, що буде страчений в'язень Б. Варто радіти в'язневі А?
Здавалося б, так. Адже до отримання цієї інформації ймовірність смерті в'язня А становила⅔, а тепер він знає, що один з двох інших в'язнів буде страчений - значить, ймовірність його страти знизилася до½. Але насправді в'язень А не дізнався нічого нового: якщо помилуваний не він, йому назвуть ім'я іншого в'язня, а він і так знав, що когось з двох, що залишилися страчують. Якщо ж йому пощастило, і кару скасували, він почує випадкове ім'я Б або В. Тому його шанси на порятунок ніяк не змінилися.
А тепер уявімо, що хтось із решти в'язнів дізнається про питання в'язня А й отриманій відповіді. Це змінить його уявлення про ймовірність помилування.
Якщо розмову підслухав в'язень Б, він дізнається, що його стратять. А якщо в'язень, то ймовірність його помилування буде становити⅔. Чому так сталося? В'язень А не отримав жодної інформації, і його шанси на помилування раніше⅓. В'язень Б точно не буде помилуваний, і його шанси дорівнюють нулю. Отже, ймовірність того, що на свободу вийде третій в'язень, дорівнює⅔.
3. Парадокс двох конвертів
Цей парадокс став відомий завдяки математику Мартіну Гарднеру, і формулюється наступним чином: «Припустимо, вам з одним запропонували два конверта, в одному з яких лежить певна сума грошей Х, а в іншому - сума вдвічі більша. Ви незалежно один від одного розкривають конверти, пересчитываете гроші, після чого можете обмінятися ними. Конверти однакові, тому ймовірність того, що вам дістанеться конверт з меншою сумою, що становить½. Припустимо, ви відкрили конверт і виявили в ньому $10. Отже, в конверті вашого друга може бути рівноймовірно $5 або $20. Якщо ви наважуєтеся на обмін, то можна обчислити математичне сподівання підсумкової суми - тобто, її середнє значення. Вона становить 1/2х$5+1/2×20=$12, 5. Таким чином, обмін вам вигідний. І, швидше за все, ваш друг буде міркувати так само. Але очевидно, що обмін не може бути вигідний вам обом. У чому ж помилка? »
Парадокс полягає в тому, що поки ви не розкрили свій конверт, ймовірності ведуть добропорядно: у вас дійсно 50-відсотковий шанс виявити в своєму конверті суму X і 50-відсоткове - суму 2X. І здоровий глузд підказує, що інформація про наявну у вас сумі не може вплинути на вміст другого конверта.
Тим не менш, як тільки ви відкрити конверт, ситуація кардинально міняється (цей парадокс чимось схожий на історію з котом Шредінгера, де сама наявність спостерігача впливає на стан справ). Справа в тому, що для дотримання умов парадоксу ймовірність знаходження у другому конверті більшої або меншої суми, ніж у вас, має бути однаковою. Але тоді рівноймовірно будь-яке значення цієї суми від нуля до нескінченності. А якщо рівноймовірно нескінченне число можливостей, в сумі вони дають нескінченність. А це неможливо.
Для наочності можна уявити, що ви виявляєте у своїй конверті один цент. Очевидно, що в другому конверті не може бути суми удвічі менше.
Цікаво, що дискусії щодо вирішення парадоксу тривають і в даний час. При цьому робляться спроби як пояснити парадокс зсередини, так і виробити найкращу стратегію поведінки в подібній ситуації. Зокрема, професор Томас Кавер запропонував оригінальний підхід до формування стратегії - міняти чи не міняти конверт, керуючись якимось інтуїтивним очікуванням. Скажімо, якщо ви відкрили конверт і виявили в ньому $10 - невелику суму за вашими підрахунками - варто його обміняти. А якщо в конверті, скажімо, $1 000, що перевершує ваші найсміливіші очікування, то змінюватися не треба. Ця інтуїтивна стратегія у випадку, якщо вам регулярно пропонують вибирати два конверти, дає можливість збільшити сумарний виграш більше, ніж стратегія постійної зміни конвертів.
4. Парадокс хлопчика і дівчинки
Цей парадокс був також запропонований Мартіном Гарднером і формулюється так: «У містера Сміта двоє дітей. Хоча б одна дитина - хлопчик. Яка ймовірність того, що і другий - теж хлопчик? »
Здавалося б, завдання просте. Однак якщо почати розбиратися, виявляється цікава обставина: правильна відповідь буде відрізнятися в залежності від того, яким чином ми будемо підраховувати ймовірність підлоги іншої дитини.
Варіант 1
Розглянемо всі можливі комбінації в сім'ях з двома дітьми: 1. Дівчинка/Дівчина 2. Дівчинка/Хлопчик 3. Хлопчик/Дівчинка 4. Хлопчик/Хлопчик
Варіант дівчинка/дівчина нам не підходить за умовами завдання. Тому для сім'ї містера Сміта можливі три рівноймовірно варіанти - а значить, ймовірність того, що інша дитина теж виявиться хлопчиком, становить⅓. Саме таку відповідь і давав сам Гарднер спочатку.
Варіант 2
Уявімо, що ми зустрічаємо містера Сміта на вулиці, коли він гуляє з сином. Яка ймовірність того, що друга дитина - теж хлопчик? Оскільки підлога другого дитини ніяк не залежить від статі першого, очевидним (і правильним) відповіддю є½.
Чому так відбувається, адже, здавалося б, нічого не змінилося?
Все залежить від того, як ми підходимо до питання підрахунку ймовірностей. У першому випадку ми розглядали всі можливі варіанти сім'ї Сміта. У другому - ми розглядали всі сім'ї, які підпадають під обов'язкове умова «повинен бути один хлопчик». Розрахунок ймовірності підлоги другого дитини вівся з цим умовою (в теорії ймовірностей це називається «умовна ймовірність»), що і призвело до результату, відмінного від першого.
Немає коментарів:
Дописати коментар